Numerosi problemi di matematica applicata corrispondono ad equazioni non lineari del tipo ¦(x) = 0 di cui non si conosce la soluzione in forma chiusa (e quindi l’espressione analitica delle radici) o di cui è complesso il calcolo, pertanto sono indispensabili dei metodi numerici che conducano alla individuazione delle radici.

Quando  l’equazione non lineare ¦(x) ad una incognita soddisfa il teorema di esistenza degli zeri, ossia è reale e continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] ed assumere valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo, possono essere usati alcuni metodi iterativi per individuare la soluzione.

Infatti se una funzione ¦(x) è reale e continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] e assume valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo (ovvero ¦(a) ^.¦(b) < 0), allora, per il teorema di esistenza degli zeri esiste sicuramente un punto x, detto zero della funzione, interno all’intervallo [a,b] in cui ¦(x) assume il valore 0, che rappresenta la radice dell’equazione ¦(x) = 0.

La ricerca di tutti gli zeri della funzione deve essere preceduta quindi dalla tabulazione della funzione f(x) con passo adeguato in modo da individuare tutti gli intervalli chiusi [a,b] che contengono al loro interno le radici e nell’applicare a ogni singolo intervallo il metodo risolutivo scelto.

La valutazione numerica di ciascuna radice avviene tramite la costruzione di una opportuna successione di valori {x_i}, tale che risulti:

lim {x_n} = x     ove     x Î [a,b]     e        f (x ) = 0
^{n® ¥}

La successione {x_i} dei valori ottenuti dipende dal procedimento iterativo applicato.

METODO DI BISEZIONE

Il metodo di bisezione è il metodo iterativo più semplice e sicuramente convergente per calcolare le radici di un’equazione non lineare ¦(x) reale e continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] che assuma valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo.

Il metodo di bisezione consiste nel considerare il punto medio x_m =(a + b)/2 dell’intevallo [a,b] e verificare se x_m è una radice.

Per verificare questa condizione, non si controlla se ¦ (x_m ) = 0, ma (poiché si lavora con i numeri reali) se |¦ (x_m) | < p, ove p rappresenta la precisione scelta.

Se x_m non è una radice si valuta il segno del prodotto ¦(a) ^.¦(x_m) e si procede allo stesso modo nel sottointervallo [a, x_m] se il segno è negativo, o nel sottointervallo [x_m,b] se è positivo.

Naturalmente iterando il procedimento si genera una successione di termini {x_i}, ciascuno dei quali rappresenta l’intersezione con l’asse X della retta individuata dai punti di coordinate (a, segno f(a)) e (b, segno f(b)) che solo sotto le ipotesi fatte converge sicuramente alla radice richiesta.

Il metodo di bisezione, come risulta osservando la Fig.1.1 ad ogni iterazione dimezza l’intervallo contenente la radice che viene calcolata con la precisione desiderata.

Il punto di forza di questo metodo è nella sua semplicità e sicura convergenza, il suo punto debole è invece nella scarsa efficienza rispetto agli altri metodi infatti poiché ad ogni passo viene dimezzato l’intervallo contenente la radice, pertanto richiede un numero elevato di iterazioni.

Rappresentazione geometrica del metodo di bisezione