La tomografia: principi generali

Le tecniche a raggi-X classiche (radiografia) producono la registrazione fotografica bidimensionale (sulla lastra) dell'ombra proiettata da un cono di radiazione che attraversa un oggetto tridimensionale (corpo umano).

Le immagini prodotte in questo modo contengono informazioni sovrapposte da strutture che si trovano a differenti profondità nell'oggetto.

La Tomografia Assiale Computerizzata (TAC) permette, attraverso l'elaborazione dell'informazione, la ricostruzione della densità del corpo in esame, in sezioni (bidimensionali) perpendicolari all'asse del sistema di acquisizione.

Vediamo, innanzi tutto di descrivere il processo fisico che sta alla base delle misure tomografiche. Supponiamo di avere un emettitore di raggi-X (tipicamente con energie comprese tra 20 e 150 Kev) che emette N fotoni (monocromatici) per unità di tempo. Il fascio attraversa uno strato di materiale (biologico) di spessore $\Delta x$. Un rivelatore posto all'uscita del campione misurerà $N +\Delta N (\Delta N <0)$ fotoni. Infatti la radiazione X ha interagito con il tessuto e il fascio é stato attenuato.

Nell'intervallo di frequenza tipico utilizzato per le immagini tomografiche, le cause di questo assorbimento sono principalmente due: l'effetto fotoelettrico e l'effetto Compton. Nel primo caso il fotone cede energia, nel secondo viene deviato dalla sua traiettora originale. Questo fenomeno si può rappresentare con un unico coefficiente $\mu$, detto di attenuazione, e si scrive

$${{ \Delta N}\over {N \Delta x}}= - \mu$$ (1)

In forma differenziale ( $\Delta x \rightarrow 0$)

$${{dN}\over {N}}= - \mu dx$$ (2)

Se $\mu$ rimane costante lungo l'intervallo di integrazione si ha

$$\int_{N_0}^{N}{{dN}\over {N}}= - \mu \int_0^x dx$$ (3)

dove $N_0$ è il numero di fotoni all'ingresso nel materiale. Quindi il numero di fotoni in funzione della posizione nel tessuto (lungo la direzione di propagazione) è dato da:

$$\ln N -\ln N_0 = -\mu x ovvero N(x)=N_0e^{-\mu x}$$ (4)

Figura 1: principio fisico dell'assorbimento dei raggi-X

In generale il coefficiente $\mu$ non è uniforme ed è legato alla densità dei tessuti.

Siano $\{x_1,x_2\}$ le coordinate cartesiane che individuano un piano dove giace una generica sezione trasversale del corpo in esame e sia $f(x_1,x_2)$ la funzione (di due variabili) che rappresenta in ogni punto il coefficiente di attenuazione, allora si può scrivere:

$$N_{out}=N_{in} e^{(- \int_{L}f(x_1,x_2)dl)} \ \ \ \ ovvero \ \ \ \ -\int_{L}f(x_1,x_2)dl=\ln (N_{out}/N_{in})$$ (5)

dove $N_{in}$ è il numero di fotoni in ingresso emessi dalla sorgente (per unità di tempo) e $N_{out}$ quello in uscita e misurati dal rivelatore e con L si indica la linea che descrive il percorso della radiazione all'interno della sezione.

Se ripetiamo ora la misura per un insieme di raggi paralleli, si può definire la proiezione dell'oggetto nella direzione di L e tale proiezione può essere vista come una funzione unidimensionale della posizione del rivelatore. Formalizziamo ora la definizione con l'aiuto delle notazioni schematizzate in figura 2.

Figura 2: La proiezione in una certa direzione di un oggetto è calcolata come integrali di linea del coefficiente di attenuazione $f(x_1,x_2)$.

• sia $P$ un generico punto della sezione
• sia $s$ la distanza con segno dall'origine $O$ di $L$
• sia $t$ distanza con segno di $P$ dalla retta per $O$ perpendicolare ad $L$
• sia $\varphi$ = angolo formato da $L$ con l'asse $x_2$, $s \in (-\infty ,+\infty )$ $\varphi \in [0,2\pi )$

La retta L lungo la quale viene effettuata l'integrazione può essere scritta come funzione di $\varphi$ ed $s$; introducendo i versori

$$\begin{eqnarray*} \underline\theta=(\cos{\varphi},\sin{\varphi}) & \underline\theta^{\bot}=(-\sin{\varphi},\cos{\varphi}) \end{eqnarray*}$$

si ha

$$(x_1,x_2)\equiv s\underline\theta + t\underline\theta^{\bot}$$

da cui

$$\int_L f(x_1,x_2) dl = \int_{-\infty}^{+\infty} f(s\underline\theta + t\underline\theta^{\bot})dt$$

-DEFINIZIONE
Fissato l'angolo $\varphi$, si definisce proiezione di f (o radiografia) nella direzione $\theta$ la funzione definita da

$$(R_{\underline\theta} f)(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(s\underline\theta+t\underline\theta^\bot)dt$$ (6)

$$(R_{\underline\theta} f)(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(s\cos{\varphi} - t\sin{\varphi},s\sin\phi+t\cos\phi)dt$$

-DEFINIZIONE
La trasformata di Radon di f è definita come l'insieme di tutte le proiezioni

$$(R f)(s,\underline\theta)=(R_{\underline\theta} f)(s)$$ (7)

La trasformata di Radon ha una proprietà di simmetria che ci permette di far variare $\varphi$ solo nel'intervallo $[0,\pi)$:

$$(R f)(s,\underline\theta)=(R f)(-s,-\underline\theta)$$ (8)

Come si può facilmente intuire, nella pratica, la traformata di Radon è nota (misurata) solo su un numero finito di rette (direzioni) e su un numero finito di punti per direzione. L' insieme dei dati raccolti dai rivelatori in ogni direzione è detto (nel caso discreto) sinogramma. Il problema della tomografia si riconduce quindi alla ricerca della funzione $f(x_1,x_2)$ dalle sue proiezioni $g(s,\underline\theta)$, ovvero risolvere la seguente equazione:

$$g(s,\underline\theta) = (R f)(s,\underline\theta)$$ (9)

L'equazione precedente può essere riscritta tenendo conto della relazione esistente tra le variabili $x_1,y_2$ e le variabili $s,t,\varphi$

$$x_1 = s\cos{\varphi} - t\sin{\varphi}$$ (10)

$$x_2 = s\sin{\varphi} + t\cos{\varphi}$$ (11)

$$g(s,\varphi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(s\cos{\varphi} - t\sin{\varphi} , s\sin{\varphi} + t\cos{\varphi}) dt$$ (12)

Radon, nel 1917, diede una soluzione analitica della (13):

$$f(x_1,x_2)=\frac{1}{(2\pi)^2} \int_{0}^{\pi} \left(P \int_{-... ...) \frac{\partial g}{\partial s}(s,\varphi\right) ds) d\varphi$$ (13)

dove P indica il valore principale dell'integrale singolare rispetto alla variabile s e dimostrò l'unicità della soluzione. Tuttavia la (14) non è utilizzabile in pratica per i seguenti motivi:

• è vera soltanto quando i dati sono continui, cosa impossibile nel caso reale data la dimensione finita dei rivelatori;

• il calcolo della derivata di g è un problema mal posto, poichè non è assicurata la dipendenza continua dai dati;

• essendo l'integrando singolare, il procedimento di calcolo potrebbe, in certi casi, non essere convergente; in ogni caso occorrebbe utilizzare formule di quadratura accurate e computazionalmente non convenienti.

Nel seguito verrà illustrata la tecnica di Filtered Back Projection che, basandosi sul teorema di Fourier, permette di ottenere una ricostruzione dei dati sperimentali.